モデルの概要
街中の送信局から送信された電波は伝搬の途中でビル等に散乱されて多数の波（多重波）に分かれて受信アンテナに届く。受信アンテナで多重波を受信しながら移動させることで瞬時の受信レベル変動が起きることを「レイリーフェージング」や「仲上ｰライスフェージング」の項目で説明した。ここでは、多重波を受信したときの平均受信電力を求める方法を説明する。これはレイトレース法などの計算機シミュレーションや簡易な計算モデルによって受信局に届く多重波の電力を計算で求めるときに、受信局で得られる平均受信電力を算出する方法である。また、この考え方は多重波の伝搬モデルを作るときに役立つ。
数式
最初に、受信レベル変動が起きるメカニズムを説明する。図1に示すように受信局は到来方向の異なる多重波を受信する。図2に受信時の各波の振幅と位相を示す。各波の振幅や位相はお互いに異なる。ただし、各波は同じ送信波から分かれた波なので搬送周波数は同じである。受信波は各波を位相合成することで得られる。ここで、受信局が特定の方向に移動すると、移動方向から到来する波は伝搬路長が短くなるので受信時の位相が負の方向に戻る。また移動方向とは逆から到来する波は位相が正の方向に進む。移動方向と直交する方向から到来する波の位相はほとんど変わらない。図2には各波の位相が変化する様子も示す。受信局の移動に伴い各波の位相が到来角度\( \varphi \)に応じて変化するため、位相合成された受信レベルは変動することになる。各波の振幅が同程度であればレイリーフェージングが起きる。このように受信局の位置によって受信電力が異なるために、各波の電力からそのエリアの平均的な受信電力を求める方法を考える。
受信局が多重波を受信して、受信局を移動させたときの受信電力の平均値を考えてみる。簡単化のために到来波が2波で振幅が同じ場合を考える。移動させる前の1波の受信電圧\( v_1(t) \)を次式で表す。
\(
v_{1} (t) = \cos ( \omega t + \theta_{1} )
\tag{1}
\)
ここで、\(t\)は時間、\(\omega\)=2\(\pi\)\(f\)（\(f\)は周波数[Hz]）、\(\theta_1\)は受信位置によって変わる位相であり定数ではない。受信局を移動させたときの平均受信電力は受信電圧を2乗した平均値である。受信電力\( P_1 \)は次のとおりである。
\(
P_{1} = \left< \cos^{2} ( \omega t + \theta_{1} ) \right> = {\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 } }
\tag{2}
\)
ここで\( \left< \ \right> \)は平均の演算を表す。
位相だけが異なるもう1波も同様に表現できる。2波を足した受信電圧\( v(t) \)は次のとおりである。
\(
v(t) = v_{1} (t) + v_{2} (t) = \cos( \omega t + \theta_{1} ) + \cos ( \omega t + \theta_{2} )
\tag{3}
\)
2波の受信電力\( P \)は次式で表せる。
\begin{multline}
P = \left< \left[ \cos ( \omega t + \theta_{1} ) + \cos( \omega t + \theta_{2} ) \right]^{2} \right> \\
= \left< \cos^{2} ( \omega t + \theta_{1} ) + \cos^{2} ( \omega t + \theta_{2} ) + 2 \cos( \omega t + \theta_{1} ) \cos ( \omega t + \theta_{2} ) \right>
\tag{4}
\end{multline}
ここで、第3項は次式となる。
\(
\left< 2 \cos ( \omega t + \theta_{1} ) \cos ( \omega t + \theta_{2} ) \right> = \left< \cos ( \theta_{1} \ – \ \theta_{2} ) + \cos ( 2 \omega t + \theta_{1} + \theta_{2} ) \right>
\tag{5}
\)
\( \cos ( 2 \omega t + \theta_1 + \theta_2 ) \)の項は主に2\(\omega t\)により位相が連続的に変わるので平均するとゼロになる。\( \cos ( \theta_1 \ – \ \theta_2 ) \)の項は受信位置によって−1～1の間の値になり、受信局が移動することで\( \theta_1 \)と\( \theta_2 \)が独立に連続的に変わることを考えればこの項の平均もゼロになる。式(4)から2波の受信電力\( P \)は次のように各波の受信電力の和になる。
\(
P = P_{1} + P_{2}
\tag{6}
\)
到来波が2波より多い場合も、各波の振幅が異なる場合も同様に、多重波の受信電力\( P \)は各波の受信電力の総和になる。このことから逆に、\(N\)個の波の受信電力\( P_i \)が既知の場合には、これらの平均の受信電力\( P \)は\( P_i \)を足し合わせることで求めることができる。
\(
P = {\displaystyle \sum_{ i=1 }^{ N } P_i }
\tag{7}
\)
モデル説明の補足
(1) 多重波の平均受信電力は各波の電力の和であるというこの知見は、伝搬モデルを作る上でも役に立つ。例えば、同じ電力を持つ到来波の数が2倍になれば受信電力は2倍になる、または到来波の到来確率が2倍になれば受信電力は2倍になる、といった使い方ができる。
(2) 到来波を時間軸や角度軸で表したのが遅延プロファイルや角度プロファイルである。このため、遅延や角度プロファイルの面積は受信電力に相当する。受信電力の距離特性などが既知であれば遅延・角度プロファイルの検討に利用できる。
(3) 多重波の受信電力を計算機シミュレーションで求めるには、いくつの到来波を求めればよいか。一例として、図3に示す遅延プロファイルにおける先頭波付近の波による受信電力を考えてみる。指数型の遅延プロファイルで遅延スプレッドを1 [µs]とする。縦軸を真値で表したプロファイルで考えると、先頭波から0.1 [µs]遅れた波（遅延距離30m）までの面積は、全体の10%である。これだけの到来波しか求められないと受信電力の誤差が10dBになる。計算誤差を評価する上で多重波の受信電力の考え方は参考にできる。
(4) 2波の電力の和が受信電力にならない例を示す。図4に示すように自由空間で送受信の見通し線より下半分を遮蔽する。このときの受信される到来波の振幅を1として受信電力を1とする。次に見通し線より上半分を遮蔽すると、対称関係から受信される到来波の振幅と受信電力は先と同じである。遮蔽がない自由空間では上からの到来波と下からの到来波が同相で受信されるので受信時の振幅は2になり、受信電力は振幅の2乗であるため4となる。このため、2波の電力の和が受信電力にならない。図5に示す平面大地反射モデルも遠方では直接波と大地反射波の位相がお互いに独立ではないので、受信電力は2波の電力和にならない。
