モデルの概要
以下は、ITU-Rにおける大気ガス吸収による減衰量の標準モデルを規定するITU勧告の最新版ITU-R P.676-13[1]をベースとして記述したものである。なお、同勧告の過去の版では、異なるモデルも記述されていた。特に、ITU-R P.676-3[2]のAnnex 2に示されたモデルは他文献でも引用されている。たとえば、[3]、[4]など。
地表における大気の組成は、窒素(約78%)、酸素(約21%)、その他の気体(合計約1%)である。この混合気体に、含有量が大きく変動する水蒸気を加えたものが地球大気である。大気を構成するこれらの気体は、その分子の回転により電波吸収を発生する。この気体による電波吸収の支配的な要因は水蒸気および酸素によるものである。ここではまず、これらによる減衰量を計算する詳細な計算式(Line-by-line calculation)について述べる。Line-by-line calculationは、1000GHzまでを対象とし、大気ガスによる減衰係数\(\gamma\)(単位距離あたりの減衰量・dB/km)を計算する部分と、減衰係数を距離で積分し総減衰量を求める部分から成る。この総減衰量を求める部分については、350GHzまでを対象とした簡易な近似計算式も与えられており、それについてもここで示す。
1,000 GHz までの周波数における乾燥大気と水蒸気による減衰は、任意の圧力・温度・湿度に対して、正確に表すことができる。酸素と水蒸気の個々の吸収線の集合体のスペクトルを支配的な要素とし、それに、10 GHz 以下の酸素の非共鳴デバイスペクトル、100 GHz 以上の圧力に起因する窒素による減衰、過剰水蒸気による吸収を示す連続スペクトル、などが加わる。図 1 は、標準大気(圧力1,013.25hPa、温度15℃、水蒸気密度7.5g/m3(Standard)および乾燥大気(Dry)による減衰係数を示している。乾燥大気による吸収は酸素による吸収と考えられ、特に60GHz周辺で大きな値をとる。この酸素の吸収線は多数の吸収線から成るが、地表での圧力状態ではそれらは合体して一つの広い吸収帯を形成している。高度が上がるにつれて圧力が下がり、個々の吸収線が分解されていく。この様子を図2に示す。その他の分子による吸収線も存在するが、一般的な大気ではこれらの影響は小さく、ここで述べるモデルでは対象としていない。
大気ガスによる減衰係数
大気ガスによる減衰係数：\(\gamma\)
\(
\gamma=\gamma_o+\gamma_w=0.1820f\left(N^{\prime\prime}_{Oxygen}(f)+N^{\prime\prime}_{WaterVapour}(f)\right)\quad {\rm (dB/km)}\\
\tag{1}
\)
\(\gamma_o\)：乾燥大気による減衰係数
\(\gamma_w\)：水蒸気による減衰係数
\(
N^{\prime\prime}_{Oxygen}(f)={\displaystyle\sum_{i(Oxygen)}}\left(S_iF_i+N^{\prime\prime}_{D}(f)\right)\\\tag{2}
\)
\(
N^{\prime\prime}_{WaterVapour}(f)={\displaystyle\sum_{i(WaterVapour)}}S_iF_i\\\tag{3}
\)
\(S_i\), \(F_i\)：\(i\)番目の酸素または水蒸気の吸収線の強度とその形状係数(shape factor)
\(
S_i=\left\{
\begin{array}{ll}
a_1\times10^{-7}p\theta^3\exp\left[a_2(1-\theta)\right]&(酸素の場合)\\
b_1\times10^{-1}e\theta^{3.5}\exp\left[b_2(1-\theta)\right]&(水蒸気の場合)
\end{array}
\right.\\\tag{4}
\)
\(\theta\)：\(300/T\)
\(
F_i = \frac{f}{f_i} \left[ \frac{\Delta f – \delta(f_i – f)}{(f_i – f)^2 + \Delta f^2} + \frac{\Delta f – \delta(f_i + f)}{(f_i + f)^2 + \Delta f^2} \right] \
\tag{5}
\)
\(f_i\)：\(i\)番目の酸素または水蒸気の吸収線周波数
\(\Delta f\)：吸収線幅
\(
\Delta f = \left\{
\begin{array}{ll}
a_3 \times 10^{-4} \left(p \theta^{(0.8 – a_4)} + 1.1 e \theta \right) & (酸素の場合) \\
b_3 \times 10^{-4} \left(p \theta^{b_4} + b_5 e \theta^{b_6} \right) & (水蒸気の場合)
\end{array}
\right. \
\tag{6}
\)
酸素吸収線のゼーマン分裂と水蒸気吸収線のドップラー広がりを考慮する場合には\(\Delta f\)について以下の修正が必要。
\(
\Delta f = \left\{
\begin{array}{ll}
\sqrt{\Delta f^2 + 2.25 \times 10^{-6}} & (酸素の場合) \\
0.535 \Delta f + \sqrt{0.217 \Delta f^2 + \frac{2.1316 \times 10^{-12} f_i^2}{\theta}} & (水蒸気の場合)
\end{array}
\right. \
\tag{7}
\)
\(\delta\)：酸素吸収線間の干渉効果を表す補正係数
\(
\delta = \left\{
\begin{array}{ll}
( a_5 + a_6 \theta ) \times 10^{-4} (p + e ) \theta^{0.8} & (酸素の場合) \\
0 & (水蒸気の場合)
\end{array}
\right. \
\tag{8}
\)
\(p\)、\(e\)、\(T\)の値は、利用可能であるならば、ラジオゾンデなどで測定されたその地点における各値の高度プロファイルを使用することが望ましい。そのようなデータが利用できない場合には、ITU勧告ITU-R P.835 で示された適切な標準大気を使用する。なお、全大気減衰を計算する場合に、酸素による減衰と水蒸気による減衰は同じ水蒸気分圧を使用して計算することに注意する必要がある。任意の高度における水蒸気分圧\(e\)は、水蒸気密度\(\rho\)と温度\(T\)から、\(e=\rho T/216.7\)で与えられる。
酸素および水蒸気の吸収線の、周波数・強度・形状係数、を与える式の各係数値：表1および表2
この値はITU-R P.676-13[1]のMSWordファイルから入手(コピペ)可能
(表2の最終行：1780GHzを中心周波数とする疑似吸収線。その下側スペクトルが1000GHz以下の水蒸気吸収を示す。)
\(N^{\prime\prime}_D(f)\)：乾燥大気の連続スペクトル：10GHz以下の酸素の非共鳴デバイスペクトル+10GHz以上の圧力によって誘起される窒素減衰
\(
N^{\prime\prime}_D(f) = f p \theta^2 \left[ \frac{6.14 \times 10^{-5}}{d \left[ 1 + \left( \frac{f}{d} \right)^2 \right]} + \frac{1.4 \times 10^{-12} p \theta^{1.5} }{1 + 1.9 \times 10^{-5} f^{1.5}} \right] \\
\tag{9}
\)
\(d\)：デバイスペクトルの幅を表す変数
\(
d = 5.6 \times 10^{-4} (p + e) \theta^{0.8} \\
\tag{10}
\)
全伝搬路の大気ガス減衰(詳細計算法)
全伝搬路の大気ガス減衰：\(A\) (dB)
(i)地上系の無線伝搬路、もしくは、地表に近い高度差が小さい斜め伝搬路
\(
A = \gamma r_0 = \left( \gamma_o + \gamma_w \right) r_0 \\
\tag{11}
\)
(ii)送信点および受信点の高度を\(h_1\)および\(h_2\)として高度が増加する場合(\(h_2>h_1>0\)(km)) (たとえば衛星回線伝搬路)
\(
A = {\displaystyle \int_{h_1}^{h_2}} \frac{\gamma(h)}{\sin \varphi(h)} d h = {\displaystyle \int_{h_1}^{h_2}} \frac{\gamma(h)}{\sqrt{1 – \cos^2 \varphi(h)}} dh \\
\tag{12}
\)
\(
\cos \varphi(h) = \frac{( R_E + h_1 ) n(h_1)}{( R_E + h ) n(h)} \cos \varphi_1 \\
\tag{13}
\)
\(\gamma(h)\)：高度\(h\)における減衰係数
\(R_E\)：平均値球半径(6371km)
\(\varphi_1\)：高度\(h_1\)における仰角
\(n(h)\)：高度\(h\)における屈折率
上式は積分形式で与えているが、図3に示すように、大気を層状に分割した上で、各層中では減衰量および伝搬仰角は一定であると仮定し、さらに各層を通る経路長を求め、各層の単位距離あたり減衰量と経路長の積の和をとることにより、離散的な値の和として表す。
\(
A = {\displaystyle \sum_{i=1}^{i_{\rm max}}} a_i \gamma_i \\
\tag{14}
\)
\(\gamma_i\)：\(i\)番目の分割層の減衰係数
\(a_i\)：\(i\)番目の分割層の伝搬路長
\(i\)番目の層において、その層中の屈折率\(n_i\)を一定、層の厚さを\(\delta_i\)、地球中心から\(i\)番目の層の下端までの距離を\(r_i\)とする。
\(a_i\), \(\alpha_i\), \(\beta_{i+1}\)：この層を通過する伝搬路長、この層の入射角および出射角
\(
a_i = -r_i \cos \beta_i + \sqrt{r_i^2 \cos^2 \beta_i + 2 r_i \delta_i + \delta_i^2} \\
\tag{15}
\)
\(
\alpha_i = \pi – \cos^{-1} \left( \frac{-a_i – 2 r_i \delta_i – \delta_i^2}{2 a_i (r_i + \delta_i)} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{r_i}{r_i + \delta_i} \sin \beta_i \right) \\
\tag{16}
\)
\(
\beta_{i+1} = \sin^{-1} \left( \frac{n_i}{n_{i+1}} \sin \alpha_i \right) \\
\tag{17}
\)
\(\beta_1=\pi/2-\theta_s\)として伝搬経路を計算する。屈折率の高さ方向変化は、高高度に比べて地上付近の方が大きいため、層の厚さ\(\delta_i\)は、地上に近いほど小さく、高度が増すにつれて大きく(たとえば指数関数的に)することが求められる。地上では10cm程度、高度100kmでは1km程度が必要とされ、上記の各層の減衰量の和の計算の上限は100kmとされている。
詳細計算法のパラメータ
| 記号 | パラメータ説明[単位] | 適用範囲 |
| \(f\) | 周波数 [GHz] | ～1000GHz |
| \(p\) | 乾燥大気圧[hPa] | |
| \(e\) | 水蒸気分圧[hPa] | |
| \(T\) | 気温[K] | |
| \(\theta_s\) | 地表における衛星仰角[rad] |
酸素吸収瞬時減衰量の近似計算法
酸素吸収による瞬時減衰量：\(A_o\)
\(
A_o(f, P_s, T_s, \rho_{w_s}) = \frac{\gamma_o(f, P_s, T_s, e_s) \cdot h_o(f, P_s, T_s, \rho_{w_s})}{\sin \theta} \\
\tag{18}
\)
\(
\gamma_o = 0.1820 f N^{\prime\prime}_{Oxygen}(f) \\
\tag{19}
\)
\(
h_o(f, P_s, T_s, \rho_{w_s}) = a_o(f) + b_o(f) T_s + c_o(f) P_s + d_o(f) \rho_{w_s} \\
\tag{20}
\)
各周波数における\(h_o\)(等価伝搬路高)の係数\(a_o\)、\(b_o\)、\(c_o\)、\(d_o\)：ITU-R勧告P.676-13のデータファイル参照。1GHzから350GHz までの範囲において0.5GHzステップで各係数の値が示されている。所望の周波数における各係数の値は示された周波数の間を線形補間することによって求める。
酸素吸収減衰量の累積分布の酸素吸近似計算法
酸素吸収による減衰量累積分布の\(p\)%値：\(A_o\)
\(
A_o(f, p) = \frac{\gamma_o(f, \bar{P_s}, \bar{T_s}, \bar{e_s}) \cdot h_o(f, P_s(p), T_s(p), \rho_{w_s}(p))}{\sin \theta} \\
\tag{21}
\)
\(
\gamma_o = 0.1820 f N^{\prime\prime}_{Oxygen}(f) \\
\tag{22}
\)
\(
h_o(f, P_s, T_s, \rho_{w_s}) = a_o(f) + b_o(f) T_s(p) + c_o(f) P_s(p) + d_o(f) \rho_{w_s}(p) \\
\tag{23}
\)
等価伝搬路高\(h_o\)の計算は、瞬時値の代わりに累積確率\(p\)%値を用いて計算する。各係数の値は同じ。
水蒸気吸収瞬時減衰量の近似計算法1
必要入力情報：地表大気圧、地表温度、地表水蒸気密度の瞬時値
水蒸気吸収による瞬時減衰量：\(A_w\)
\(
A_w(f, P_s, T_s, \rho_{w_s}) = \frac{\gamma_w(f, P_s, T_s, e_s) \cdot h_w(f)}{\sin \theta} \\
\tag{24}
\)
\(
\gamma_w = 0.1820 f N^{\prime\prime}_{WaterVapour}(f) \\
\tag{25}
\)
\(
h_w(f)=Af+B+{\displaystyle \sum_{i=1}^3} \frac{a_i}{(f-f_i)^2 + b_i} \ (A = 5.6585 \times 10^{-5}, B = 1.8348) \\
\tag{26}
\)
瞬時水蒸気吸収減衰量の近似計算法2
必要入力情報：地表大気圧、地表温度、地表水蒸気密度、積分水蒸気量の瞬時値
水蒸気吸収による瞬時減衰量：\(A_w\)
\(
A_w(f, P_s, T_s, \rho_{w_s}) = \frac{K_V(f, P_s, T_s, \rho_{w_s}) \cdot V_s}{\sin \theta} \\
\tag{27}
\)
\(
K_V(f, P_s, T_s, \rho_{w_s}) = a_V(f) + b_V(f) \rho_{w_s} + c_V(f) T_s + d_V(f) P_s \\
\tag{28}
\)
\(V_s\)：地表から衛星までの積分水蒸気量[kg/m3]。
各周波数における\(K_V\)の係数\(a_V\)、\(b_V\)、\(c_V\)、\(d_V\)：ITU-R勧告P.676-13のデータファイル参照。1GHzから350GHz までの範囲において0.5GHzステップで各係数の値が示されている。所望の周波数における各係数の値は示された周波数の間を線形補間することによって求める。
水蒸気吸収減衰量の累積分布の近似計算法
必要入力情報：地表大気圧、地表温度、地表水蒸気密度、積分水蒸気量の統計値
水蒸気吸収による減衰量累積分布の\(p\)%値：\(A_w\)
\(
A_w(f, p) = \frac{K_V(f, \overline{P_s}, \overline{T_s}, \overline{\rho_{w_s}}) \cdot V_s(p)}{\sin \theta} \\
\tag{29}
\)
\(
K_V(f, \overline{P_s}, \overline{T_s}, \overline{\rho_{w_s}}) = a_V(f) + b_V(f) \overline{\rho_{w_s}} + c_V(f) \overline{T_s} + d_V(f) \overline{P_s} \\
\tag{30}
\)
\(V_s(p)\)：地表から衛星までの積分水蒸気量の累積確率\(p\)%値[kg/m3]
\(K_V\)の計算は、瞬時値の式に、それぞれの変数の累積確率\(p\)%値を用いて計算する。係数は同じ。
近似計算法のパラメータ
| 記号 | パラメータ説明[単位] | 適用範囲 |
| \(f\) | 周波数 [GHz] | ～350GHz |
| \(P_s\),\(\overline{P_s}\) | 地表大気圧[hPa]およびその平均値 | |
| \(e_s\),\(\overline{e_s}\) | 地表水蒸気分圧[hPa]およびその平均値\(\\(e_s=\rho_{w_s}T_s/216.7,\overline{e_s}=\overline{\rho_{w_s}}\overline{T_s}/216.7)\) | |
| \(p_s\),\(\overline{p_s}\) | 乾燥地表大気圧[hPa]およびその平均値 \(\\(p_s=P_s-e_s,\overline{p_s}=\overline{P_s}-\overline{e_s})\) | |
| \(T_s\),\(\overline{T_s}\) | 地表温度[K]およびその平均値 | |
| \(\rho_{w_s}\),\(\overline{\rho_{w_s}}\) | 水蒸気密度[g/m3]およびその平均値 | |
| \(\theta\) | 仰角[rad] | |
| \(P_s(p)\) | 累積確率\(p\)%の地表大気圧[hPa] | |
| \(T_s(p)\) | 累積確率\(p\)%の地表温度[K] | |
| \(\rho_{w_s}(p)\) | 累積確率\(p\)%の水蒸気密度[g/m3] |
計算例
図1：大気ガスによる減衰係数：\(\gamma\)(dB/km)
プログラム例
大気ガスによる減衰係数\(\gamma\)(図1相当)を計算するMatlabソース
