モデルの概要
伝搬経路内に存在する障害物に電波が入射すると、その境界で反射・透過が起こる。我々の生活している空間は様々な材質や形状を持った媒質で構成されているが、一般的な建築材料は一層または多層の誘電体かつ非磁性体で近似できる場合が多い。このとき、各層の誘電体の複素比誘電率が与えられていれば反射・透過特性を理論的に求めることができる。そのため、幾何光学的に伝搬損失を求める計算手法と整合性が高く、レイトレースシミュレーションへの実装が容易である。
ここでは、電波伝搬ハンドブックやITU-R勧告P.2040の基本的な反射・透過特性の理論式を紹介する[1][2]。この理論式は電波を平面波、境界を無限に広がる平面として近似しているので、実環境へ適用する場合は、アンテナと境界との距離、波長と境界面の大きさの関係などから適切に使われる必要がある点に注意する。ITU-R勧告P.2040では、いくつか実用的な計算方法も記載されている[2]。文献[3]では、レイトレーシング法における反射・透過特性の計算方法が数式化されているのでこちらもぜひご覧いただきたい。
数式
反射係数・透過係数
図1のように複素比誘電率の異なる2つの媒質1、2の境界面に入射する平面波を考える。ここではITU-R勧告P.2040にならい、媒質1、2はともに非磁性体とし、複素比誘電率をそれぞれ\( \eta_1 \)、\( \eta_2 \)と表す。媒質1から入射角\( \theta_i \)で媒質2に入射した電波の一部は反射角\( \theta_r \)で反射し、残りは透過角（屈折角）\( \theta_t \)で媒質2へ透過する。このとき、反射の法則およびスネルの法則より、入射角\( \theta_i \)、反射角\( \theta_r \)、透過角\( \theta_t \)の関係は以下となる。
\(
\theta_i = \theta_r
\tag{1}
\)
\(
\sqrt{ \eta_1 } \sin \theta_i = \sqrt{ \eta_2 } \sin \theta_t
\tag{2}
\)
ここで、式(2)より以下の関係が成り立つ。
\(
{\displaystyle
\frac{ \sin \theta_i }{ \sin \theta_t } = \frac{ \sqrt{ \eta_2 } }{ \sqrt{ \eta_1 } } = \frac{ n_2 }{ n_1 } = n
}
\tag{3}
\)
\( n_1 \)、\( n_2 \)はそれぞれ真空の屈折率\( n_0 \)=1を基準とした媒質1、2の絶対屈折率、\( n \)は媒質1から媒質2への相対屈折率である。
電波は、電界と磁界が互いに垂直に振動しながら空間を伝搬している。したがって、偏波を考える必要がある。反射・透過における偏波の方向は、電界（または磁界）の向きと入射面との関係によって決まる。入射面とは、境界面の法線と電波の進行方向によって定義される平面である。図2に2種類の直線偏波（TE波、TM波）の反射・透過の様子を示す。TE（Transverse Electric）波は、電界成分が入射面に対して垂直である。このため、直交偏波とも呼ばれる。また、大地を境界面とみなしたとき、TE波は水平偏波（Horizontal polarization）と呼ばれ、無線通信においてはこの言葉がよく使われる。電波の反射・透過特性の指標として反射係数・透過係数が用いられる。反射係数・透過係数は空間を伝搬した際の伝搬損失を含まず、それぞれ、境界面における入射波の電界\( E_i \)と反射波の電界\( E_r \)の比、境界面における入射波の電界\( E_i \)と透過波の電界\( E_t \)の比で表される。TE波における反射係数\( R_{\rm TE} \)および透過係数\( T_{\rm TE} \)は次式となる。
\(
R_{\rm TE} = {\displaystyle \frac{ E_r }{ E_i } } = \left\{
\begin{array}{ll}
{\displaystyle \frac{ \sqrt{ \eta_1 } \cos \theta_1 \ – \sqrt{ \eta_2 } \cos \theta_2 }{ \sqrt{ \eta_1 } \cos \theta_1 + \sqrt{ \eta_2 } \cos \theta_2 } }
& {\displaystyle \sqrt{ \left| \frac{ \eta_1 }{ \eta_2 } \right| } \sin \theta_1 < 1 } \\
1
& {\displaystyle \sqrt{ \left| \frac{ \eta_1 }{ \eta_2 } \right| } \sin \theta_1 \geq 1 }
\end{array}
\right.
\tag{4}
\)
\(
T_{\rm TE} = {\displaystyle \frac{ E_t }{ E_i } } = \left\{
\begin{array}{ll}
{\displaystyle \frac{ 2 \sqrt{ \eta_1 } \cos \theta_1 }{ \sqrt{ \eta_1 } \cos \theta_1 + \sqrt{ \eta_2 } \cos \theta_2 } }
& {\displaystyle \sqrt{ \left| \frac{ \eta_1 }{ \eta_2 } \right| } \sin \theta_1 < 1 } \\
0
& {\displaystyle \sqrt{ \left| \frac{ \eta_1 }{ \eta_2 } \right| } \sin \theta_1 \geq 1 }
\end{array}
\right.
\tag{5}
\)
一方、TM（Transverse Magnetic）波は、磁界成分が入射面に対して垂直である。すなわち電界成分が入射面に対して平行であるため、平行偏波とも呼ばれる。大地を境界面とみなしたとき、TM波は垂直偏波（Vertical polarization）と呼ばれる。TM波における反射係数\( R_{\rm TM} \) 、透過係数\( T_{\rm TM} \)は次式となる。
\(
R_{\rm TM} = {\displaystyle \frac{ E_r }{ E_i } } = \left\{
\begin{array}{ll}
{\displaystyle \frac{ \sqrt{ \eta_2 } \cos \theta_1 \ – \sqrt{ \eta_1 } \cos \theta_2 }{ \sqrt{ \eta_2 } \cos \theta_1 + \sqrt{ \eta_1 } \cos \theta_2 } }
& {\displaystyle \sqrt{ \left| \frac{ \eta_1 }{ \eta_2 } \right| } \sin \theta_1 < 1 } \\
1
& {\displaystyle \sqrt{ \left| \frac{ \eta_1 }{ \eta_2 } \right| } \sin \theta_1 \geq 1 }
\end{array}
\right.
\tag{6}
\)
\(
T_{\rm TM} = {\displaystyle \frac{ E_t }{ E_i } } = \left\{
\begin{array}{ll}
{\displaystyle \frac{ 2 \sqrt{ \eta_1 } \cos \theta_1 }{ \sqrt{ \eta_2 } \cos \theta_1 + \sqrt{ \eta_1 } \cos \theta_2 } }
& {\displaystyle \sqrt{ \left| \frac{ \eta_1 }{ \eta_2 } \right| } \sin \theta_1 < 1 } \\
0
& {\displaystyle \sqrt{ \left| \frac{ \eta_1 }{ \eta_2 } \right| } \sin \theta_1 \geq 1 }
\end{array}
\right.
\tag{7}
\)
これらの式はフレネルの式と呼ばれる。
TMモードにおいて入射角が特定の角度になると、反射波の振幅がゼロになる。この角度をブリュースター角（Brewster angle）という。ブリュースター角\( \theta_{\rm B} \)は2つの媒質の屈折率によって決まり、複素比誘電率と以下の関係が成り立つ。
\(
{\displaystyle
\tan \theta_{\rm B} = \sqrt{ \frac{ \eta_2 }{ \eta_1 } }
}
\tag{8}
\)
誘電率の大きい媒質から誘電率の小さい媒質に電波が入射するとき、入射角がある角度を超えると、電波はすべて反射され透過しなくなる。この現象を全反射と呼び、このときの角度を臨界角（Critical angle）と呼ぶ。図1において\( \eta_1 \)\( > \)\( \eta_2 \)のとき、臨界角\( \theta_{\rm C} \)と複素比誘電率との間には以下の関係が成り立つ。
\(
{\displaystyle
\sin \theta_{\rm C} = \sqrt{ \frac{ \eta_2 }{ \eta_1 } }
}
\tag{9}
\)
自由空間内の単層平板の反射係数・透過係数
図3のように、波源から十分に遠方にある自由空間内の複素比誘電率\( \eta \)かつ厚さ\( d \)の単層平板に入射する平面波は、単層平板への入射面における反射だけでなく、層の内部における反射、すなわち多重反射の影響が表れる。自由空間では複素比誘電率\( \eta_0 \)=1および厚さ\( d_0 \)=0と定義されるため、自由空間内の単層平板における反射係数\( R \)および透過係数\( T \)は次式となる。なお、ここでの反射係数\( R \)は境界面1における入射波の電界\( E_i \)と反射波の電界\( E_r \)の比、透過係数\( T \)は境界面1における入射波の電界\( E_i \)と境界面2における透過波の電界\( E_t \)の比である。
\(
{\displaystyle
R = \frac{ E_r }{ E_i } = \frac{ r \{ 1 – \exp ( -j2q ) \} }{ 1 – r^2 \exp ( -j2q ) }
}
\tag{10}
\)
\(
{\displaystyle
T = \frac{ E_t }{ E_i } = \frac{ ( 1 – r^2 ) \exp ( -jq ) } { 1 – r^2 \exp ( -j2q ) }
}
\tag{11}
\)
ここで、\( r \)は計算する反射係数\( R \)および透過係数\( T \)の偏波（TE波、TM波）に応じて次式より選択する。
\(
r = \left\{
\begin{array}{ll}
{\displaystyle \frac{ \cos \theta_0 \ – \sqrt{ \eta \ – \sin^2 \theta_0 } }{ \cos \theta_0 + \sqrt{ \eta \ – \sin^2 \theta_0 } } }
& {\rm TE} \\
{\displaystyle \frac{ \eta \cos \theta_0 \ – \sqrt{ \eta \ – \sin^2 \theta_0 } }{ \eta \cos \theta_0 + \sqrt{ \eta \ – \sin^2 \theta_0 } } }
& {\rm TM}
\end{array}
\right.
\tag{12}
\)
\(
{\displaystyle
q = \frac{ 2 \pi d }{ \lambda } \sqrt{ \eta \ – \sin^2 \theta_0 }
}
\tag{13}
\)
パラメータ
| 記号 | パラメータ説明[単位] |
| \( \lambda \) | 波長 [m] |
| \( \theta_0 \) | 入射角 [deg.] |
| \( \eta \) | 媒質の複素比誘電率 |
| \( d \) | 媒質の厚さ [m] |
計算例
図3において、波源から十分に遠方にある自由空間内の厚さ\( d \)=10cmのコンクリート（複素比誘電率\( \eta \)=5.24−\( j \)0.71）に周波数2GHzの正弦波が入射したとき、式(10)および(11)で求められる反射係数および透過係数の振幅\( |R| \)および\( |T| \)を一例として示す。ただし、光速は2.99792458×108 m/sとする。
プログラム例
ITU-R勧告P.2040の単層または多層平板の反射係数および透過係数を計算するMATLABコードを提供する。 関数“func_extract_coefficients_v3”では、ITU-R勧告P.2040-3に記載されている材質ごとの電気定数に関する係数を使用している。
%% init
% =================================================================================================== %
% Input parameters
% freq_GHz : frequency [GHz] ( SCALAR )
% idx_material : material index of each layer referenced in ITU-R Rec. P.2040-3 ( 1xN VECTOR )
% width_meter : material width of each layer [m] ( 1xN VECTOR )
% --------------------------------------------------------------------------------------------------- %
% Material index
% 1: air (0.001-100 GHz)
% 2: Concrete (1-100 GHz)
% 3: Brick (1-40 GHz)
% 4: Plasterboard (1-100 GHz)
% 5: Wood (0.001-100 GHz)
% 6: Glass (0.1-100 GHz)
% 7: Glass (220-450 GHz)
% 8: Ceiling board (1-100 GHz)
% 9: Ceiling board (220-450 GHz)
% 10: Chipboard (1-100 GHz)
% 11: Plywood (1-40 GHz)
% 12: Marble (1-60 GHz)
% 13: Floorboard (50-100 GHz)
% 14: Metal (1-100 GHz)
% 15: Very dry ground (1-10 GHz)
% 16: Medium dry ground (1-10 GHz)
% 17: Wet ground (1-10 GHz)
% =================================================================================================== %
freq_GHz = 2;
idx_material = 2; width_meter = 100e-3;
% idx_material = [ 6 , 1 , 6 ]; width_meter = [ 6e-3 , 10e-3 , 6e-3 ];
theta_ref_deg = ( 0 : 0.1 : 90 )'; % Incident angle
%% Material coefficients
[ coef_material , coef_air ] = func_extract_coefficients_v3( idx_material );
%% Electrical constants
[ ~ , eta_air ] = func_electrical_constants( freq_GHz , coef_air ); % air
[ ~ , eta_material ] = func_electrical_constants( freq_GHz , coef_material ); % material
%% Reflection/Transmission coefficients
% --- Parameters of each layer ---
eta_n = [ eta_air , eta_material.' , eta_air ];
d_n_meter = [ 0 , width_meter , 0 ];
c = 2.99792458e8;
wavelength = c / ( freq_GHz * 1e9 );
gamma_n = 2 * pi / wavelength * sqrt( eta_n - sind( theta_ref_deg ).^2 );
theta_n_deg = asind( sind( theta_ref_deg ) ./ sqrt( eta_n ) );
% --- Fresnel reflection coefficient ---
r_TE_n = ( sqrt( eta_n( 1 : end-1 ) ) .* cosd( theta_n_deg( : , 1 : end-1 ) ) - sqrt( eta_n( 2 : end ) ) .* cosd( theta_n_deg( : , 2 : end ) ) ) ...
./ ( sqrt( eta_n( 1 : end-1 ) ) .* cosd( theta_n_deg( : , 1 : end-1 ) ) + sqrt( eta_n( 2 : end ) ) .* cosd( theta_n_deg( : , 2 : end ) ) );
r_TM_n = ( sqrt( eta_n( 1 : end-1 ) ) .* cosd( theta_n_deg( : , 2 : end ) ) - sqrt( eta_n( 2 : end ) ) .* cosd( theta_n_deg( : , 1 : end-1 ) ) ) ...
./ ( sqrt( eta_n( 1 : end-1 ) ) .* cosd( theta_n_deg( : , 2 : end ) ) + sqrt( eta_n( 2 : end ) ) .* cosd( theta_n_deg( : , 1 : end-1 ) ) );
% --- Reflection coefficient for each layer ---
Num_layer = length( eta_n );
R_TE_n = zeros( length( theta_ref_deg ) , Num_layer );
R_TM_n = zeros( length( theta_ref_deg ) , Num_layer );
for i_layer = ( Num_layer - 1 ) : -1 : 1
R_TE_n( : , i_layer ) = ( r_TE_n( : , i_layer ) + R_TE_n( : , i_layer + 1 ) .* exp( -2j * gamma_n( : , i_layer + 1 ) .* d_n_meter( i_layer + 1 ) ) ) ...
./ ( 1 + r_TE_n( : , i_layer ) .* R_TE_n( : , i_layer + 1 ) .* exp( -2j * gamma_n( : , i_layer + 1 ) .* d_n_meter( i_layer + 1 ) ) );
R_TM_n( : , i_layer ) = ( r_TM_n( : , i_layer ) + R_TM_n( : , i_layer + 1 ) .* exp( -2j * gamma_n( : , i_layer + 1 ) .* d_n_meter( i_layer + 1 ) ) ) ...
./ ( 1 + r_TM_n( : , i_layer ) .* R_TM_n( : , i_layer + 1 ) .* exp( -2j * gamma_n( : , i_layer + 1 ) .* d_n_meter( i_layer + 1 ) ) );
end
R_TE = R_TE_n( : , 1 );
R_TM = R_TM_n( : , 1 );
T_TE = prod( ( exp( -1j * gamma_n( : , 1 : end-1 ) .* d_n_meter( : , 1 : end-1 ) ) .* ( 1 + r_TE_n ) ) ...
./ ( 1 + r_TE_n .* R_TE_n( : , 2 : end ) .* exp( -2j * gamma_n( : , 2 : end ) .* d_n_meter( 2 : end ) ) ) , 2 );
T_TM = prod( ( exp( -1j * gamma_n( : , 1 : end-1 ) .* d_n_meter( : , 1 : end-1 ) ) .* ( 1 + r_TM_n ) ) ...
./ ( 1 + r_TM_n .* R_TM_n( : , 2 : end ) .* exp( -2j * gamma_n( : , 2 : end ) .* d_n_meter( 2 : end ) ) ) , 2 );
%% functions
function [ coef , coef0 ] = func_extract_coefficients_v3( Index )
% ----------------------------------------------------------------- %
% Material properties described in TABLE 3 in Rec. ITU-R P.2040-3
% ----------------------------------------------------------------- %
coef_mtrl = [
1 0 0 0 % 1: air (0.001-100 GHz)
5.24 0 0.0462 0.7822 % 2: Concrete (1-100 GHz)
3.91 0 0.0238 0.16 % 3: Brick (1-40 GHz)
2.73 0 0.0085 0.9395 % 4: Plasterboard (1-100 GHz)
1.99 0 0.0047 1.0718 % 5: Wood (0.001-100 GHz)
6.31 0 0.0036 1.3394 % 6: Glass (0.1-100 GHz)
5.79 0 0.0004 1.658 % 7: Glass (220-450 GHz)
1.48 0 0.0011 1.075 % 8: Ceiling board (1-100 GHz)
1.52 0 0.0029 1.029 % 9: Ceiling board (220-450 GHz)
2.58 0 0.0217 0.78 % 10: Chipboard (1-100 GHz)
2.71 0 0.33 0 % 11: Plywood (1-40 GHz)
7.074 0 0.0055 0.9262 % 12: Marble (1-60 GHz)
3.66 0 0.0044 1.3515 % 13: Floorboard (50-100 GHz)
1 0 10e7 0 % 14: Metal (1-100 GHz)
3 0 0.00015 2.52 % 15: Very dry ground (1-10 GHz only)
15 -0.1 0.035 1.63 % 16: Medium dry ground (1-10 GHz only)
30 -0.4 0.15 1.3 % 17: Wet ground (1-10 GHz only)
];
coef0 = coef_mtrl( 1 , : ); % air
coef = coef_mtrl( Index , : ); % material
end
function [ conductivity , permittivity ] = func_electrical_constants( freq_GHz , coef_material )
% ----------------------------------------------------------------- %
% Formulae in Sec. 2.1 & 3 in Rec. ITU-R P.2040-3
% ----------------------------------------------------------------- %
a = coef_material( : , 1 );
b = coef_material( : , 2 );
c = coef_material( : , 3 );
d = coef_material( : , 4 );
conductivity = c .* ( freq_GHz ).^d; % eq.(28)
eta_prime = a .* ( freq_GHz ).^b; % eq.(29)
eta_prime2 = 17.98 * conductivity ./ freq_GHz; % eq.(59)
permittivity = eta_prime - 1j * eta_prime2; % eq.(10)
end