講演抄録/キーワード |
講演名 |
2011-09-09 15:15
BN体上の楕円曲線$y^{2}=x^{3} \pm 2^{i}3^{j}$のトレースの全決定 ○中島俊哉(QFRラボラトリ) ISEC2011-30 |
抄録 |
(和) |
素数$p$が$p=36z^{4}+36z^{3}+24z^{2}+6z+1\ (z \in \mathbb{Z})$と表されるとき$p$をBN(Barreto-Naehrig)素数と呼び,BN素数を標数とする有限素体をBN体と呼ぶ.白勢[5]はBN素数が$p=(6z^{2}+3z+1)^{2}+3z^{2}$と表せることを指摘し,この事実を用いてBN体上の楕円曲線$E:\ y^{2}=x^{3}+2^{i}3^{j}\ (i,j \in \mathbb{Z})$の有理点群の位数を大部分の$i,j$について理論的に決定した.その特殊な場合には$E$は埋め込み次数12のpairing-friendly曲線の一種(BN曲線)となる.しかしながら一部の$i,j$についての位数は実験による予想として述べられていた.本稿では環$\mathbb{Z}[\omega]\ (\omega=(-1+\sqrt{-3})/2)$における6乗剰余記号の値を導出することにより,[5]の結果を拡張しBN体上の楕円曲線$y^{2}=x^{3} \pm 2^{i}3^{j}$のトレースを全ての$i,j$について理論的に決定する(位数決定と同値).その結果として[5]の予想が真であることが証明される. |
(英) |
A prime $p$ of the form $p=36z^{4}+36z^{3}+24z^{2}+6z+1\ (z \in \mathbb{Z})$ is called a BN(Barreto-Naehrig) prime and a finite prime field with characteristic of BN prime is called a BN field. Shirase[5] pointed out every BN prime can be represented as $p=(6z^{2}+3z+1)^{2}+3z^{2}$, and using the fact he determined group orders of elliptic curves $E:\ y^{2}=x^{3}+2^{i}3^{j}\ (i,j \in \mathbb{Z})$ over BN field for most cases of $i$ and $j$. In special cases of the result those curves are pairing-friendly curves (BN curves) with embedding degree 12. However, in some cases of $i$ and $j$ the orders were stated as conjecture induced by experiments. This paper extends results of [5] and theoretically determines traces (equivalent to determine orders) of elliptic curves $y^{2}=x^{3} \pm 2^{i}3^{j}$ over BN field for all cases of $i$ and $j$ by deriving values of sixth power residue symbols in the ring $\mathbb{Z}[\omega]\ (\omega=(-1+\sqrt{-3})/2)$. As a result, the conjecture of [5] is proven true. |
キーワード |
(和) |
pairing-friendly曲線 / BN曲線 / BN素数 / 準素 / 立方剰余 / 6乗剰余 / トレース / |
(英) |
pairing-friendly curve / BN curve / BN prime / primary / cubic residue / sixth-power residue / trace / |
文献情報 |
信学技報, vol. 111, no. 204, ISEC2011-30, pp. 25-28, 2011年9月. |
資料番号 |
ISEC2011-30 |
発行日 |
2011-09-02 (ISEC) |
ISSN |
Print edition: ISSN 0913-5685 Online edition: ISSN 2432-6380 |
著作権に ついて |
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