レイリーフェージング

モデルの概要

受信端末において、振幅および位相が不規則に変動する複数の到来波の合成受信信号は式(1)で表現可能である。

\begin{eqnarray}
e(t) &=& {\rm Re} \left[\sum_{i=1}^N r_i (t) \exp (j\{2 \pi f t + \theta_i (t)\}) \right] \\
&=& \sum_{i=1}^N r_i (t) \cos \theta_i (t) \cos⁡(2 \pi f t) – \sum_{i=1}^N r_i (t) \cos \theta_i (t) \sin⁡(2 \pi f t) \\
&=& x(t) \cos(2 \pi f t) – y(t) \sin(2 \pi f t) \\
&=& r(t) \cos{2 \pi f t + \theta(t)}
\tag{1}
\end{eqnarray}

図1のように基地局と受信端末の間に見通しが存在せず、周囲の建物などからの反射や回折を受けた多数の到来波が受信端末に到来する環境を考える。このとき、\(\theta_i(t)\)が互いに独立で\(0\)から\(2\pi\)に一様に分布し、\(x\)および\(y\)は独立で波数\(N\)が十分に大きい場合、\(x\)および\(y\)は中心極限定理により正規分布となる。\(x\)と\(y\)の変動は独立であるため、 \(x\)と\(y\)の結合確率密度関数はそれぞれの発生確率の積となる。\(x\)と\(y\)の結合確率密度関数をヤコビアンを考慮して振幅\(r\)と位相\(\theta\)の関係に変換すると、\(r\)と\(\theta\)の結合確率密度関数は式(2)となる。

\(
f_{r \theta} (r,\theta) = \frac{r}{2 \pi \sigma^2} \exp \left( \frac{-r^2}{2 \sigma^2} \right)
\tag{2}
\)

式(2)を\(\theta\)で積分することにより、受信信号の振幅rの確率密度関数は式(3)、累積分布関数は式(6)として求まり、この分布をレイリー分布という。そして、このような振幅の瞬時変動特性を持つフェージングをレイリーフェージングと呼ぶ[1] 。

レイリーフェージングモデルは、基地局と受信端末の間に見通しが存在しない市街地の移動通信の瞬時変動特性を表現する電波伝搬モデルとして使われることが一般的である。

レイリーフェージングの発生方法の代表的なものとして、図2に示されるように振幅が等しくランダムな初期位相を持つ複数の波が水平面内全方向から一様に到来するJakesモデル[2]が有名である。図3は複数の周波数によるレイリーフェージングの計算例である。周波数が大きくなると変動周期が短くなることがわかる。図4は図3に示した振幅の累積確率とレイリー分布の累積分布関数である。変動周期が異なってもレイリー分布に従うことがわかる。

数式

振幅分布：\(f_r(r)\)
\(
f_r(r) = \frac{r}{\sigma^2} \exp \left(\frac{-r^2}{2 \sigma^2} \right)
\tag{3}
\)

位相分布：\(f_\theta(r)\)
\(
f_\theta(r) = \frac{1}{2 \pi}
\tag{4}
\)

平均電力：
\(
\bar{r^2}=2 \sigma^2
\tag{5}
\)

累積分布：\(F_r(r)\)
\(
F_r(r) = 1-\exp \left(\frac{-r^2}{2\sigma^2} \right)
\tag{6}
\)

パラメータ

〇レベル分布モデル

計算例

プログラム例

以下、MATLABプログラム例を記載する。

clear all
freq=1.0*10^9; % frequency [Hz]
V=0.5; % velocity of UE [m/s]
c=2.99792458*10^8; % speed of light [m/s]
N=100; % number of arrival waves
phai_i=rand(1,N)*2*pi; % arrival angle [rad]
zeta_i=rand(1,N)*2*pi; % initial phase [rad]
lambda=c/freq; % wavelength [m]
count=1;
for t=0:0.01:100 % time [s]
    R(count,1)=t;
    R(count,2)=1/sqrt(N)*sum(exp(1i*(2*pi*V*t*cos(phai_i)/lambda+zeta_i))); % amplitude
    R(count,3)=20*log10(abs(R(count,2))); % amplitude in dB
    count=count+1;
end

参照